Суперфрактал - Сергей Леонидович Деменок

• Фракталы и случай

• Обратная связь

• Логистическое уравнение Ферхюльста

Хаос: сдвиг парадигмы

Весь пафос картезианской парадигмы был в том, что по воле Бога все на свете подчинено законам. Картезианский мир напоминает часовой механизм, который работает согласно чертежу Великого Часовщика. Под картезианскими небесами человеческая мысль развивалась почти половину тысячелетия, со времен Возрождения. Но в XX веке картезианская парадигма потеряла свою привлекательность под давлением квантовой механики и теории хаоса.

Под знаками кота и бабочки утверждается новая парадигма. Случайность и Хаос теперь не на периферии, но в самой сердцевине окружающей нас реальности. Случайные флуктуации производятся повсюду. Случай запускает механизмы возникновения порядка из хаоса. Каждый фрагмент порядка проистекает из хаоса и всегда погружен в хаос. Между любыми фрагментами порядка есть область хаоса, в которой непременно найдется фрагмент порядка.

Старая парадигма заключается в том, что хаос превращает предсказания в бесполезное дело. Однако наша способность понять, описать и даже предсказать поведение нестабильных систем значительно расширилась благодаря исследованиям хаоса. Эти исследования выявили, что такие черты поведения хаотических систем, как нестабильность и нелинейность, присущи большому классу детерминированных систем.

По-настоящему хаотическое поведение нестабильных систем предсказать невозможно. Поведение стабильных динамических систем легко предсказуемо. Но есть еще такие динамические системы, которые, на первый взгляд, кажутся предсказуемыми, но предсказать их поведение никак невозможно. Собственно, это и есть так называемый «динамический хаос». В 1927 году сэр Артур Эддингтон так описал существо вопроса:

Когда Кеплер и Ньютон, а затем более точно Эйнштейн, объяснили раз и навсегда то, как отдельные планеты движутся вокруг Солнца по своим эллиптическим орбитам, создалось впечатление, что для полного описания движения системы трех или более тел требуется просто увеличить интенсивность вычислений. Наши спутники могут полагаться на ньютоновы законы движения и на то, что современные компьютеры направляют их к нужным целям. Однако по истечении достаточно большого периода времени траектории их движения становятся непредсказуемыми. До сих пор не получен ответ на старый вопрос об устойчивости Солнечной системы.

На рубеже XVIII-XIX вв. считалось, что она должна быть устойчивой. В начале XX в. — после Пуанкаре — имелись основания предполагать обратное. Сегодня мы уже допускаем, что долгосрочный прогноз поведения Солнечной системы (даже если ограничиться только гравитационным взаимодействием) невозможен. Как говорят специалисты, уравнения являются «неинтегрируемыми». Любая самая малая неточность в начальных условиях может позже очень сильно повлиять на последующее движение.

Слева: типичная траектория решения задачи трех тел в небесной механике. Вверху показано начало, а внизу — дальнейшая эволюция хаотического движения малой планеты вокруг двух светил с равной массой.

Справа: аттрактор Лоренца: хаотическое движение в диссипативной системе. В отличие от движения планет, это движение направляется к аттрактору силой трения. Но «странные аттракторы» допускают существование сложных движений, прыжки вперед и назад между двумя центрами. (Пайтген Х.-О., Рихтер П. X. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. 1989)

В середине XX века фон Нейман создал свой первый компьютер с твердым намерением использовать вычислительную машину для управления погодой. Он полагал, что сложная динамическая система имеет точки неустойчивости — критические моменты, в которые слабый толчок может привести к огромным последствиям, как это происходит с мячиком, балансирующим на вершине холма. Вопрос заключался в том, чтобы определить эти точки, воздействовать на систему в нужный момент и рассчитать на компьютере ее дальнейшее поведение. На практике это должно было выглядеть так: «Центральный комитет» метеорологов принимает решение изменить погоду. В небо поднимаются самолеты, чтобы оставить за собой дымовую завесу или разогнать облака. Прекрасная перспектива! Однако Нейман не учел вероятность хаоса, при котором неустойчива каждая точка.

В каждый отдельный момент причинная связь сохраняется, но после нескольких ветвлений она уже не видна. Рано или поздно начальная информация о состоянии системы становится бесполезной. В ходе эволюции любого процесса информация генерируется и запоминается. Законы природы допускают для событий множество различных исходов, но наш мир имеет одну-единственную историю. К 1970-м годам сформировалось понимание миропорядка не столько сквозь призму порядка, сколько сквозь призму хаоса. Работы Эдварда Лоренца и Ильи Пригожина сыграли в этом процессе решающую роль. Теория утверждала:

Природа риска неустранима. В режиме хаоса неустойчива каждая точка. Реальность изменяется хаотически. Изменения реальности невозможно предвидеть и невозможно точно предсказать. Неточность в наблюдениях сложным образом сливается с ошибкой в модели, заставляя нас переоценивать то, что считается хорошим прогнозом. Прогноз изменяется в режиме реального времени. Приходится жить в режиме интенсивного настоящего, постоянно сверяя и корректируя модель с реальностью. Такая стратегия поведения есть один из результатов исследования хаоса. Хаос постоянно разрушает порядок. Он же постоянно порядок и производит.

Порядок появляется из хаоса как результат формирования устойчивых петель обратного влияния. Такие петли возникают из «отклика» на случайный «оклик». И если происходит сцепление, то возникает повтор «отклика» на «отклик». Появляется устойчивая петля, которая синхронизирует себя со своим случайным окружением. И если такая синхронизация наступает, то петля встраивается в структуру уже существующих петель обратного влияния.

Случай рвет и склеивает устойчивые связи. Он создает элегантный хаос из строго детерминированных и алеаторных эффектов. Такой хаотический режим называют еще детерминированным, или динамическим, хаосом.

Любой прогноз лежит в области пространства наших представлений, но в равной мере — в поле влияния чужих намерений. И на этом основании мы не можем полностью доверять нашим моделям и расчетам. Как отмечал Альфред Норт Уайтхед,

В современном