Суперфрактал - Сергей Леонидович Деменок

форма,

преобразование,

символ,

фрактал есть

форма,

алгоритм

и число.

Фрактал: форма, алгоритм и число

Фрактал — блестящая абстракция, которая отражает форму предметов реального мира. Если оглядеться вокруг, станет понятно, что лишь немногие формы описываются простыми фигурами вроде прямых, окружностей, сфер и кубов. Как и любая фигура, фрактал есть и форма, и процесс построения формы. Однако, в отличие от окружности, построение которой под силу ребенку, алгоритм построения фрактала много сложнее. Он требует филигранной точности. Казалось бы, что форма фрактала однозначно определяется его алгоритмом. Но нет. Алгоритм построения и форма фрактала есть два объекта.

Рассмотрим несколько совершенно разных алгоритмов, которые производят одну и ту же фрактальную форму — «салфетку Серпинского».

Метод вырезания трем

Берем равносторонний треугольник со стороной r. На первом шаге вырезаем в центре него перевернутый вершиной вниз равносторонний треугольник с длиной стороны r1 = r0/2. В результате этого шага у нас получаются три равносторонних треугольника с длинами сторон r1 = r0/2, располагающиеся в вершинах исходного треугольника.

На втором шаге в каждом из трех образовавшихся треугольников вырезаем перевернутые вписанные треугольники с длиной стороны r2 = r1/2 = r0/4. Результат — 9 треугольников с длиной стороны  r2 = г/4.

Продолжаем повторять эту операцию, на любом n-м шаге в каждом из имеющихся треугольников вырезая перевернутый треугольник со стороной гn = г0/2n = r02-n.

В результате форма «салфетки Серпинского» постепенно становится все более и более определенной.

Алгебраический алгоритм

Поместим равносторонний треугольник с длиной стороны, равной 1, на комплексную плоскость = х + iу (левый треугольник на рисунке). Пусть у нас имеются три оператора t1, t2, t3, каждый из которых переводит исходный равносторонний треугольник в подобный ему, но в два раза меньшего размера.

Применение операторов t1, t2, t3 приводит к тому, что мы получаем треугольник, подобный исходному, но меньшего размера и строго определенного положения по отношению к исходному треугольнику, как показано на рисунке.

Многократное повторение этих операторов позволяет построить «салфетку Серпинского».

Здесь реализуется кумулятивная фиксация образа, то есть накопительное пошаговое формирование его так, что фрагмент n-го шага накладывается на образ n-1 шага.

Метод FASS-линии

Данный метод позволяет построить фрактал Серпинского при помощи алгоритма построения так называемых FASS-кривых. Название происходит от английского описания подобных кривых: «space-Filling, self-Avoiding, Simple and self-Similar», что означает «кривые, заполняющие собой всю плоскость, без самопересечений, состоящие из простых и самоподобных фрагментов». Пошаговое построение FASS-линии при многократном повторении может произвести фрактал Серпинского.

Конечно, при фиксации образа последующего шага все предыдущие построения «стираются».

Метод L-систем

Метод L-систем был изобретен в 1968 году не математиком, а венгерским биологом Аристидом Линденмайером, разработавшим метод описания сложных природных систем и процессов с помощью простых составляющих и правил их преобразования.

Линденмайер использовал формальную грамматику, опирающуюся на правила генерации преобразования символов. L-система позволяет получить сложную форму при помощи аксиомы и правил преобразования. Результат этого процесса детерминирован, то есть строго и однозначно определен алгоритмом построения. Однако проблемой метода в общем смысле является то, что предсказать конечный результат невозможно до тех пор, пока алгоритм не будет завершен полностью. При этом каждый шаг вызывает удлинение командной строки, а значит, на ее обработку требуется все больше и больше времени, так что даже для современных компьютеров этот процесс достаточно долог, а в далеком 1968 году на решение задачи потребовалась бы почти вечность.

Рассмотрим алгоритм построения «салфетки Серпинско- го» методом L-систем немного подробнее.

Аксиомой этого процесса служит выражение: FXF — — FF — — FF. Имеются также три правила:

F → FF;

х → — — FXF ++ FXF ++ FXF — —;

угол β = 360°/6 = 60°.

Нулевой шаг процесса имеет вид: FXF — — FF — — FF. Уже первый шаг имеет довольно длинную запись:

FF — — FXF ++ FXF ++ FXF — — FF — — FF FF — — FF FF...

О длине записи на десятом или двадцатом шаге даже говорить не приходится. Впрочем, для вычислительной машины это не проблема. Заметим, что, в отличие от предыдущего алгоритма, при фиксации следующего шага все предыдущие построения не стираются. Поскольку фрактальные алгоритмы сводятся к повтору установленных правил, общей идеей для их вычислений будет организация цикла, в котором по завершении последней операции программа будет возвращаться к исходной операции. Эта операциональная петля не возвращает нас к начальной точке, но каждый раз переопределяет начальные условия. Начальные условия обновляются на каждом такте цикла построения фрактала, и это всякий раз приводит к новому результату в конце цикла. Промежуточные результаты могут «стираться», но могут и накапливаться. Команда «стирать» или «сохранить» — последняя команда в цикле построения фрактала.

Метод систем итерированных функций Барнсли

Метод систем итерированных функций (IFS — Iterates Function System) был разработан Майклом Барнсли на основе сжимающих аффинных преобразований, которые мы рассмотрим подробно в главе III. Пока иллюстрируем этот метод простым примером.

Дано: равносторонний треугольник с координатами углов А (0,0), В (1,0), С (1/2,31/2/2),Z0и произвольная точка внутри этого треугольника — игральная кость, на гранях которой имеется по две буквы A, В и С.

Шаг 1. Бросаем кость. Вероятность выпадения каждой буквы составляет 2/6 = 1/3.

• Если выпала буква А — строим отрезок z0 - А, на середине которого ставим точку z1.

• Если выпала буква В — строим отрезок z0 - В, на середине которого ставим точку z1.

• Если выпала буква С — строим отрезок z0 - С, на середине которого ставим точку z1.

Шаг 2. Бросаем кость еще раз.

• Если выпала буква А — строим отрезок z1 - А,